¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)?

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.

Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos.

Múltiplo

Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 y el 3 por 1, por 2, por 3, por 4, etc.

2 x 1 = 2             2 x 2 = 4             2 x 3 = 6            2 x 4 = 8

y así sucesivamente hasta infinitos números.

3 x 1 = 3             3 x 2 = 6             3 x 3 = 9             3 x 4 = 12

y así sucesivamente hasta infinitos números.

Múltiplo Común

Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más números, es decir, es un múltiplo común a esos números.

Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.

Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en verde, es decir, el 6, el 12 y el 18. Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes.

Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.

Cómo calcular el mínimo común múltiplo

Se pueden utilizar dos métodos.

1. El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
2. Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo de ésto, calculando el mcm de 12 y de 8.

Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:

12 = 22 x 3

8 = 23

Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto elegimos 23 y el 3.

Y por último los multiplicamos, por lo tanto 23 x 3 = 8 x 3 = 24

Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24

¿Qué es el Máximo Común Divisor (MCD)?

Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números.

Términos

Divisor

El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero.

Vamos a ver un ejemplo de esto:

Vamos a calcular los divisores de 15:

15 / 1 = 15, por lo que 1 y 15 son divisores de 15.

15 / 2 = 7, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor de 15.

15 / 3 = 5, por lo que 3 y 5 son divisores de 15.

15 / 4 = 3, el resto es 3, por lo que 4 no es divisor de 15.

Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 15.

Ahora vamos a calcular los divisores de 20.

20 / 1 = 20, por lo que 1 y 20 son divisores de 20.

20 / 2 = 10, por lo que 2 y 10 son divisores de 20.

20 / 3 = 6, el resto es 2, por lo que 3 no es un divisor de 20.

20 / 4 = 5, por lo que 4 y 5 son divisores de 20.

Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 20.

Divisor Común

Es un número que es divisor a la vez de dos o más números, es decir, es un divisor común a esos números.

Si seguimos con el ejemplo anterior, en el que hemos calculado los divisores de 15 y de 20, ahora vamos a ver cuales son los divisores comunes.

Y en este caso, los divisores comunes de 15 y 20 son el 1 y el 5.

Máximo Común Divisor

Es el número más grande de los divisores comunes.

Por lo que si seguimos con el ejemplo anterior, el Máximo Común Divisor de 15 y 20 es 5.

¿Cómo encontrar el Máximo Común Divisor?

Vamos a ver diferentes métodos para encontrar el MCD.

• Método 1: Escribimos todos los divisores de cada número, y de éstos señalamos los divisores comunes. El divisor mayor será el MCD de esos números. Este método es el que ya hemos explicado antes.
• Método 2: Descomponemos cada número en factores primos. Después, señalamos los factores comunes. A continuación, escogemos el factor con menor exponente. Y por ultimo, multiplicamos los factores elegidos.

Vamos a ver un ejemplo:

Calculamos el M.C.D de 8 y 12.